АНАЛІЗ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ВИПАДКОВИХ ГРАФІВ

Анотація

Актуальність. У сучасному світі більшість соціальних, біологічних, технологічних і комунікаційних процесів відбувається у вигляді складних мережевих структур. Аналіз таких систем вимагає побудови математичних моделей, здатних адекватно описувати їхню топологію, випадкову природу та динамічні властивості. Одним із найпотужніших інструментів для цього є теорія випадкових графів, що дозволяє моделювати широке коло реальних явищ – від поширення вірусів і інформації до функціонування критичних інфраструктур. Класичні моделі, зокрема модель ЕрдешаРеньї, заклали фундамент сучасної теорії графів, однак вони мають обмеження в описі мереж з високою кластеризацією чи нерівномірним розподілом зв’язків. Тому останнім часом особливого значення набули сучасні підходи, серед яких моделі типу «світ тісний», що відображають властивості реальних соціальних чи біологічних систем із короткими шляхами та високим рівнем кластеризації) та безмасштабні графи, що моделюють мережі з нерівномірним розподілом ступенів. Актуальність теми зумовлена необхідністю вибору та аналізу відповідної математичної моделі, яка забезпечить точне представлення властивостей реальних мереж, дозволить проводити обґрунтоване прогнозування їх поведінки, виявляти вразливості та оптимізувати функціонування складних систем. У цьому контексті аналіз математичних моделей випадкових графів є важливим напрямом сучасної прикладної математики, інформатики та теорії систем. Об'єкт дослідження: випадкові графи як математичні структури, що моделюють топологію та динаміку складних мережевих систем. Мета статті: дослідження, систематизація та порівняльний аналіз математичних моделей випадкових графів для визначення їх придатності до моделювання різних типів складних мережевих систем. Результати дослідження. У статті проведено аналіз математичних моделей випадкових графів, що лежать в основі сучасної мережної науки. Починаючи з теоретичних основ графів, було досліджено як класичні, так і сучасні моделі побудови випадкових мереж, методи їх аналізу та практичні напрями застосування. Методи аналізу є критично важливими для практичного використання випадкових графів, оскільки саме вони дозволяють зробити моделі придатними для прогнозування, діагностики та управління складними системами. Вони також формують основу для інтеграції математичних моделей з реальними даними, що є ключовою метою сучасної науки про мережі. Класичні моделі дозволяють формалізувати випадковість зв’язків у мережі, проте мають суттєві обмеження у відтворенні реальних топологічних властивостей складних мереж, зокрема високої кластеризації, неоднорідності ступенів та механізмів зростання. Сучасні моделі значно краще відповідають структурі реальних систем. Вони дозволяють моделювати такі важливі характеристики, як поява хабів, кластеризація, коротка середня довжина шляху та стійкість до збоїв. Висновки. Математичні моделі випадкових графів є універсальним інструментом для аналізу та синтезу різноманітних мережевих систем. Їх застосування дозволяє не лише формально описати структуру складної системи, а й виявити її приховані закономірності, передбачити її поведінку за різних умов, а також оптимізувати функціонування з урахуванням реальних обмежень.